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不等式证明
设\( a_1 \le a_2 \le \ldots \le a_n, b_1 \le b_2 \le \ldots \le b_n \). 并且\( b_1+b_2+ \ldots + b_n=0 \). 求证: \( \sum_{i=1}^n a_i b_i \ge 0 \)
证明
若\(b_i\)全都等于0则结论显然成立。现在考虑\(b_n>0\)
因为\(b_1+b_2+ \dots + b_n=0 \) 且\(b_1 \le b_2 \le \ldots \le b_n\)所以\(b_i\)可分为两部分:
$$ b_1 \le b_2 \le \dots \le b_k <0 $$ $$ 0< b_{k+1} \le b_{k+2} \le \ldots \le b_n $$ 因此可记 $$ S = b_{k+1} + b_{k+2} + \dots + b_n = -(b_1+b_2+ \ldots + b_k) > 0 $$ 对于\(i \le k\),有\(a_i \le a_k\),又因为\(b_i<0\) 因此\( a_i b_i \ge a_k b_i \)
read more五人三日比赛
问题: 有5个人参加为期3天的比赛,每天比赛得分为5~1,三天后发现5人总分相同,问是否可能?
解答: 设5个人为A,B,C,D,E,因为三天总分相同,所以每人每天平均得3分,每人总分都是9分。 考虑三天中得到5分的人,显然不可能有同一人得到两次5分,所以得5分的人分别是A,B,C三人。 不妨设ABC分别在1,2,3天得到5分。 再考虑得4分的人,如果有ABC中某人得到4分则已经有9分,所以得4分的人只能是D,E两人,又 这3个4分也不可能都同一人所得,所以D,E有一人拿了两个4分,设为D,另一人为E。 不妨设D在第一天和第二天拿4分,则E在第三天E拿4分,D拿1分。 现在考虑第三天的得分从低到高为D,?,?,E,C E需要在第1,2两天拿到5分,4分和5分已经被分配完毕,所以只可能3/2分布,也就是说3个2分中 E必须占一个,剩下的2个两分也必须给同一个ABC中的同一个人,因为剩下两个2分必有一个是第三天的 所以C不可能,
如果是A,则A在第二天也得2分。B则需要3/1分布,因为第三天的1已被D得, 因此第三天是{D,A,B,E,C} (表示当天得分从1到5,以后同), 第二天则必须{?,?,?,D,B}这样B在第一天得1分{B,?,?,D,A} 最后三天的分布是 {{B,E,C,D,A},{C,A,E,D,B},{D,A,B,E,C}}
如果是B则有另一组解,从第三天{D,B,A,E,C}可推出 {{C,B,E,D,A},{A,E,C,D,B},{D,B,A,E,C}}
read more多面体
设\( P \)为正多面体,它的每个面有\( p \)个边,每个顶点是\( q \)个面的交点.用 Euler公式证明:
\[ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{2} + \frac{1}{e} \] 证明:
每个面有\( p \)个边,有\( f \)个面,每条边涉及两个面,所以有 \[ f \cdot p= 2\cdot e \] \[ \frac{2\cdot e}{p}=f \] 类似的,每个顶点是\( q \)个面交点,也就有\( q \)条边,每条边有两个顶点,所以算了两次 \[ v \cdot q= 2\cdot e \] \[ \frac{2\cdot e}{q}=v \] 又根据欧拉公式 \[ f-e+v=2 \] \[ f+v=2+e \] 两边除以\( 2e \)
\[ \frac{2 \cdot e}{p \cdot 2 \cdot e} + \frac{2 \cdot e}{q \cdot 2 \cdot e} = \frac{1}{2} + \frac{1}{e} \] 即 \[ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{2} + \frac{1}{e} \]
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