设\( a_1 \le a_2 \le \ldots \le a_n, b_1 \le b_2 \le \ldots \le b_n \). 并且\( b_1+b_2+ \ldots + b_n=0 \). 求证: \( \sum_{i=1}^n a_i b_i \ge 0 \) 证明 若\(b_i\)全都等于0则结论显然成立。现在考虑\(b_n>0\) 因为\(b_1+b_2+ \dots + b_n=0 \) 且\(b_1 \le b_2 \le \ldots \le b_n\)所以\(b_i\)可分为两部分: $$ b_1 \le b_2 \le \dots \le b_k <0 $$ $$ 0< b_{k+1} \le b_{k+2} \le \ldots \le b_n $$ 因此可记 $$ S = b_{k+1} + b_{k+2} + \dots + b_n = -(b_1+b_2+ \ldots + b_k) > 0 $$ 对于\(i \le k\),有\(a_i \le a_k\),又因为\(b_i<0\) 因此\( a_i b_i \ge a_k b_i \)

问题： 有5个人参加为期3天的比赛，每天比赛得分为5~1，三天后发现5人总分相同，问是否可能？ 解答： 设5个人为A，B，C，D，E，因为三天总分相同，所以每人每天平均得3分，每人总分都是9分。 考虑三天中得到5分的人，显然不可能有同一人得到两次5分，所以得5分的人分别是A，B，C三人。 不妨设ABC分别在1，2，3天得到5分。 再考虑得4分的人，如果有ABC中某人得到4分则已经有9分，所以得4分的人只能是D，E两人，又 这3个4分也不可能都同一人所得，所以D，E有一人拿了两个4分，设为D，另一人为E。 不妨设D在第一天和第二天拿4分，则E在第三天E拿4分，D拿1分。 现在考虑第三天的得分从低到高为D，？，？，E，C E需要在第1，2两天拿到5分，4分和5分已经被分配完毕，所以只可能3/2分布，也就是说3个2分中 E必须占一个，剩下的2个两分也必须给同一个ABC中的同一个人，因为剩下两个2分必有一个是第三天的 所以C不可能， 如果是A，则A在第二天也得2分。B则需要3/1分布，因为第三天的1已被D得， 因此第三天是{D，A，B，E，C} (表示当天得分从1到5，以后同)， 第二天则必须{？，？，？，D，B}这样B在第一天得1分{B，？，？，D，A} 最后三天的分布是 {{B，E，C，D，A}，{C，A，E，D，B}，{D，A，B，E，C}} 如果是B则有另一组解，从第三天{D，B，A，E，C}可推出 {{C，B，E，D，A}，{A，E，C，D，B}，{D，B，A，E，C}}

设\( P \)为正多面体，它的每个面有\( p \)个边，每个顶点是\( q \)个面的交点.用 Euler公式证明： \[ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{2} + \frac{1}{e} \] 证明： 每个面有\( p \)个边，有\( f \)个面，每条边涉及两个面，所以有 \[ f \cdot p= 2\cdot e \] \[ \frac{2\cdot e}{p}=f \] 类似的，每个顶点是\( q \)个面交点，也就有\( q \)条边，每条边有两个顶点，所以算了两次 \[ v \cdot q= 2\cdot e \] \[ \frac{2\cdot e}{q}=v \] 又根据欧拉公式 \[ f-e+v=2 \] \[ f+v=2+e \] 两边除以\( 2e \) \[ \frac{2 \cdot e}{p \cdot 2 \cdot e} + \frac{2 \cdot e}{q \cdot 2 \cdot e} = \frac{1}{2} + \frac{1}{e} \] 即 \[ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{2} + \frac{1}{e} \]