设\( P \)为正多面体，它的每个面有\( p \)个边，每个顶点是\( q \)个面的交点.用 Euler公式证明： \[ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{2} + \frac{1}{e} \] 证明： 每个面有\( p \)个边，有\( f \)个面，每条边涉及两个面，所以有 \[ f \cdot p= 2\cdot e \] \[ \frac{2\cdot e}{p}=f \] 类似的，每个顶点是\( q \)个面交点，也就有\( q \)条边，每条边有两个顶点，所以算了两次 \[ v \cdot q= 2\cdot e \] \[ \frac{2\cdot e}{q}=v \] 又根据欧拉公式 \[ f-e+v=2 \] \[ f+v=2+e \] 两边除以\( 2e \) \[ \frac{2 \cdot e}{p \cdot 2 \cdot e} + \frac{2 \cdot e}{q \cdot 2 \cdot e} = \frac{1}{2} + \frac{1}{e} \] 即 \[ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{2} + \frac{1}{e} \]

Where Reasons End 李翊云 著 兰登书屋 2021 192页 Where Reasons End 无疑是一本令人心碎的书。尽管被归类为虚构小说，但它实际上是作者李翊云与她已故儿子Vincent之间一场想象中的对话，这使得这本书并非传统意义上的文学虚构。书中的背景事件和人物经历都源于真实，因此这些对话无疑曾真实地在作者脑海中上演。 书中的儿子名字是Nikolai，是一个早慧的孩子，对文学和诗歌有着非凡的天赋，在乐团中演奏双簧管，仅仅十六岁就结束了自己的生命。书中的对话自Nikolai死后不久到开始，持续了三个月，书结束的时候 并未说明对话是否停止。在这些对话中，文学、语言和哲学是他们反复探讨的主题。生前，Nikolai就曾对母亲的写作风格提出过负面看法。即便在他去世后，母子间的许多争论依然围绕着词语的精准与优劣展开。如书中所言，Nikolai总能在辩论中占据上风。毫无疑问，即便在想象中，一个已逝的孩子与母亲对抗时，其优势地位几乎是压倒性的。 或许，另一个世界的Nikolai所说的话，只是李翊云对自身负面情绪的投射。因此，这本书也可以被解读为李翊云作为一名作家，对自我进行的批判与辩护。尽管李翊云以英语文学闻名，但她文字中蕴含的中华文化渊源不言而喻。例如，在书中她自然地引用了辛弃疾的词（“少年不识愁滋味”）和俗语（“吃过的盐比你吃过的饭都多”）。 阅读这场充满自我否定的对话，并非愉快的体验。当然，对于一本悲伤的书而言，作者或许也并不期待读者获得愉悦的感受。然而，我不得不思考，这种自我否定在多大程度上源于李翊云的女性和移民背景。仅仅因为孩子是更纯粹的西方文化代表，她便自觉处于劣势。在书中的多处细节中，Nikolai对母亲的英语表现出微妙的优越感，尽管李翊云本人就是一位英语系教授。 不管如何，去感受一个母亲最深切的悲伤，以及她如何通过文字与逝去的爱子进行一场永无止境的对话。

长将诗句付奚囊 此去征途被急装 苜蓿金鞍调白马 梅花铁笛奏青羌 凉州水草军营盛 汉代亭台猎火荒 往事功名归卫霍 书生垂老玉门霜 题注: 《一统志》：白草原在临洮府金县南二十里。 胡元瑞《甲乙剩言》固原都御史行台后有园池，池北有堂，池上有亭，堂之颜曰：“天 光云影亭”，亭之颜曰：“半亩方塘”，绰楔之前曰：“源头活水”，后曰：“清如许”。凡 历四中丞，所题仅朱晦翁一绝句。 临洮府金县:现在的甘肃榆中县. 奚囊: 奚通丝,奚囊就是丝囊,用李贺典,专指盛诗句的袋子. 固原都御史行台: 清初陕西三边总督驻固原,一般领督察院右都御史衔,后面注中的中丞也是指同一官名. 颜:匾额 绰楔:官署牌坊

昨天起把网站的内容移到了 Render 。 今天把DNS指向了新的地址，旧的Apache终于关掉了。 总体过程还算顺利，迁移中发现有几点： Render提供的Hugo是比较低版本的，相应的themes也需要用比较低的版本匹配。 如果要用www subdomain，Render要求DNS同时解析根域名，这需要添加一个host为@的A记录，指向Render提供的IP。DNS配完后需要在Render里面的设置页面验证并取得SSL证书。

已知圆周率\( \pi=3.1415926535897\cdots \) 求证:若有理数\( p/q \)比\( \frac{355}{133} \)更接近于\( \pi \),则 \( q > 16586 \) 证明: 不妨设\( a = \frac{355}{113}, a> \pi \) $$ | \frac{p}{q} - \pi | < a - \pi$$ 因此 $$ \pi - a < \frac{p}{q} -\pi < a - \pi $$ $$ 2\pi - 2a < \frac{p}{q} - a <0 $$ $$ 2(a-\pi) > \frac{355 \cdot q -113 \cdot p}{113 \cdot q}$$ $$ q > \frac{355q-113p}{113 \cdot 2(a-\pi)} > \frac{1}{113 \cdot 2 \cdot 2.

首先推荐一个几何作图网站GeoGebra 问题： 求证三角形三条中线共点。 如图，设三角形ABC中，D和F分别是AB和AC的中点，CD和BF交于G，连接AG并延长到BC于E，求证E为中点。 因为D和E为中点，所以三角形ABF和三角形ADC面积同为三角形ABC的\( \frac{1}{2} \) 但两个三角形有共同部分四边形ADGF，因此三角形BDG和GCF面积相等 又因为GD是三角形ABG的中线，所以三角形BDG面积是ABG的一半，同理GCF是AGC的一半 所以三角形ABG和AGC面积相等，而两个三角形有同一条边AG 因此B到AE的距离BH等于C到AE的距离CI 三角形ABE和AEC面积都等于\(AE \cdot BH = AE \cdot CI \)，因此两个三角形面积相等 但是这两个三角形面积分别等于\( BE \cdot AJ \) 和 \( CE \cdot AJ \) 所以BE=CE

问题： 有四只鸭子，在一个圆形的池塘里随机分布，问四只鸭子恰好在同一个半圆的概率是多少？ 如果四只鸭子在同一个半圆，我们总可以将坐标旋转使得一只鸭子恰好在坐标x轴大于0处。 而其他三只鸭子恰好在坐标\(y \gt 0 \)的半圆内。 考虑每只鸭子\(d_i\),做这样的旋转，则出现所有鸭子在同一半圆的机率是\( (\frac{1}{2})^3 \) 因此总体的概率是 \[ 4 \cdot (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{2} \]

按照Hugo的文档，使用\( \LaTeX \)并不难，按照 这里说的配置就可以了。 测试公式生成 \[ e^{z+2k \pi i} = e ^z \cdot e^{2k \pi i}=e^z, k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots. \] 按照同样道理引用tikz 也可以生成图了，只是要注意，Hugo缺省不支持原生html代码，需要 在配置文件中将开关打开 [markup.goldmark.renderer] unsafe = true 然后可以用代码： <script type="text/tikz"> \begin{tikzpicture} \draw (0,0) circle (1in); \end{tikzpicture} </script> 生成一个圆形

需要做的事情 使用MathJax，让站点能够显示数学公式 使用TikZJax 生成绘图 发布一些关于数学的帖子，主题不限，分析，算法等等都有可能。