不等式证明

December 9, 2025

设$ a_1 \le a_2 \le \ldots \le a_n, b_1 \le b_2 \le \ldots \le b_n $. 并且$ b_1+b_2+ \ldots + b_n=0 $. 求证: $ \sum_{i=1}^n a_i b_i \ge 0 $

证明

若$b_i$全都等于0则结论显然成立。现在考虑$b_n>0$

因为$b_1+b_2+ \dots + b_n=0 $ 且$b_1 \le b_2 \le \ldots \le b_n$所以$b_i$可分为两部分:

$$ b_1 \le b_2 \le \dots \le b_k <0 $$ $$ 0< b_{k+1} \le b_{k+2} \le \ldots \le b_n $$

因此可记

$$ S = b_{k+1} + b_{k+2} + \dots + b_n = -(b_1+b_2+ \ldots + b_k) > 0 $$

对于$i \le k$,有$a_i \le a_k$,又因为$b_i<0$ 因此$ a_i b_i \ge a_k b_i $

对于$i>k$,有$a_i \ge a_{k+1}$,又因为$b_i>0$ 因此$ a_i b_i \ge a_{k+1} b_i $

综合可得

$$ \sum_{i=1}^n a_i b_i \ge \sum_{i=1}^k a_k b_i + \sum_{i=k+1}^n a_{k+1} b_i = a_k (0-S)+ a_{k+1}S=S(a_{k+1}-a_k) \ge 0 $$