多面体
设\( P \)为正多面体,它的每个面有\( p \)个边,每个顶点是\( q \)个面的交点.用 Euler公式证明:
\[ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{2} + \frac{1}{e} \]证明:
每个面有\( p \)个边,有\( f \)个面,每条边涉及两个面,所以有
\[ f \cdot p= 2\cdot e \] \[ \frac{2\cdot e}{p}=f \]类似的,每个顶点是\( q \)个面交点,也就有\( q \)条边,每条边有两个顶点,所以算了两次
\[ v \cdot q= 2\cdot e \] \[ \frac{2\cdot e}{q}=v \]又根据欧拉公式
\[ f-e+v=2 \] \[ f+v=2+e \]两边除以\( 2e \)
\[ \frac{2 \cdot e}{p \cdot 2 \cdot e} + \frac{2 \cdot e}{q \cdot 2 \cdot e} = \frac{1}{2} + \frac{1}{e} \]即
\[ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{2} + \frac{1}{e} \]